تسطار
ميّز على تسطير (فن).
التسطار ؤلا التسطير (ب النڭليزية Geometry، ب لعربية الهندسة) هوّ مجال فرعي ديال لماط لي كيهتم ب لمزايا د لمكان، بحال لبعودية، الشكل، لحجم، و التموضيع النسبي ديال الشكال التسطارية.[1] التسطار و تاحسابت (ب النڭليزية arithmetics، ب لعربية الحسابيات) هوما أقدم جوج فروع د لماط عرفهوم بنادم. تال لقرن 19، كان التسطار كيخدم غير على التسطار د ؤقليدس، لي كانلقاو فيه مفاهيم بحال النقطة، لمستقيم، لمستوى، لبعودية ؤلا لمسافة، لقنيتة ؤلا الزاوية، التيساع ؤلا لمساحة، و لحنية (ب لعربية منحنى) كا مفاهيم أساسية.[2]
التسطار ف لأصل تدار باش يمتّل لواقع لي كيعيش فيه بنادم، و عندو تطبيقات ف جميع لمجالات د الصيونص و الطيكنولوجيا و لفن و لمعمار و غيرهوم.[3] و ف لماط نيت، يقدر التسطار يكونو عندو تطبيقات ف مجالات فرعية لي كاتبان مامتعلقاش بيه ڭاع، بحال ف لبرهان ديال الطيوريم اللخراني د فيرما، لي ستعمل فيه لماطيماتيسيان أندرو وايلز طرقان ديال التسطار الجبري، وخا لپروبليم براسو داخل ف إطار نضرية د لأعداد. هاد لپروبليم كان بقا قرون بدون حل تال اللخر د لقرن 20.
ف لقرن 19، مجموعة د لإكتشافات بدّلو لوضعية و لمدى ديال التسطار بشكل جدري. اللولاني منهوم كان طيوريما إڭريڭيوم Theorema Ergregium (حرفياً "الطيوريم لواعر") ديال كارل فريديريش ڭاوس، لي دارو ف 1827، و كينص بلي التعويجة لڭاوسية ديال شي سطح ماكاتبدلش يلا تّطوا ب أي طريقة بلا مايتجبّد. وحدة من النتائج ديال هاد الطيوريم هيّ بلي مايمكنش نمتّلو لخريطة د لبلدان على جوج أبعاد بلا مايتبدّلو لمسافات و لأشكال ديالهوم (حيت لإسقاط على مستوى مسطح كيبدّل التعويجة لڭاوسية ديال لأرض). ماطيماتيسيانات خرين بحال بيرنهارد ريمان و نيكولاي لوباتشيڤسكي قدرو يطورو نضريات جديدة ديال التسطار لي تسمّاو تسطار لاؤقليدي، بعدما بدّلو لمسلّمة ديال التوازي بلا مايطيحو ف تناقض د اللوجيك. النضرية النسبية ديال ألبرت أينشطاين ف لفيزيك معتامدة بشكل أساسي على النضرية د التسطار ديال ريمان، شي لي كيبيّن بلي هاد لفرع الجديد ديال التسطار ماشي غير خيالي و نضري، مي عندو تطبيق ف لواقع.
معا اللخر د لقرن 19 و لبدية د لقرن 20، زاد توسع لمجال ديال التسطار، و تقسّم ل مجالات فرعية لبعض منها كان ديجا موجود بحال التسطار الجبري، و شي بعضين عاد بانو، بحال التسطار التفاضلي، التسطار لحواسبي، التسطار لمتقطع، و غيرهوم. هاد التطور خلا مفهوم لمكان تا هوّ يتبدل و يولي متجرد بزاف كا كينونة ماطيماتيكية لي تقدر تكون عندها مزايا مختالفين.
كلمة تسطار ؤلا تسطير كيخدموها لحرايفيا لمغاربا على لفن ديال الزخرافة على لڭبص ؤلا ب الزليج، و لي كيدخلو فيه شكال تسطارية كيتصاوبو ب لمسطارة و الدابد (لبركار التقليدي).[4]
![[[قرعة د كلاين]] لي هيّ مانيفولض من جوج أبعاد لي محطوط ف 3 د لأبعاد](/wiki/%D9%81%D9%8A%D8%B4%D9%8A:Klein_bottle.svg)
أقدم لأتار ديال التسطار كيرجعو ل لحضارات ديال بلاد بين لويدان (لعراق دابا) و مصر لقديمة ف جوايه لألفية 2 قبل لميلاد.[5][6] هاد التسطار لبدائي كان مجموعة د لمعارف لي تّكتاشفو ب لملاحضة و التجريبة، ماشي نضريات، على لأطوال، لقنوتا، لمساحات و لأحجام لي كاتخدم أهداف د لپراتيك ديال لحساب و التقسيم د لأراضي د لفلاحة، لفلك، لبني، و صنايع خرين. أقدم نصوص مكتوبين على التسطار هوما بردية ريند لمصرية لي تكتبات مابين 2000 و 1800 ق.م.، بردية موسكو (تسمات على لي كتاشفها) لي تا هيّ من مصر و كاترجع ل جوايه 1890 ق.م، و طابليطات د لغيس ديال لبابيليين، منهوم پليمپطون 322 لي كاترجع ل جوايه 1900 ق.م. بردية موسكو متلاً كاتعطي الصيغة د لحساب ديال لحجم د هارام مقطوع (كيتسمى جدع).[7] كاينين تا طابليطات ديال لبابيليين كيرجعو ل جوايه لقرن 4 قبل لميلاد، كيوصفو طريقة د لحساب ديال لموضع و السرعة د كوكب جوپيتر. بزاف د الطرقان التسطارية لي توصفو ف هاد لمخطوطات ماعاودو تّكتاشفو تال لقرن 14.[8]
ف لقرن 7 قبل لميلاد، لماطيماتيسيان ليوناني طاليس لميلي طوّر طرقان ديال لحساب د لعلو ديال هارام، ؤلا لبعد ديال باطو من الجنب د لبحر، و كيتّعتابر أول واحد خدّم لوجيك د لإستنتاج ف التسطار، و هوّ معروف ب طيوريم ديال طاليس.[9] من جيهتو، پيطاڭوراس أسس لمدراسة لپيطاڭورية لي لأعضاء ديالها دارو أول برهان ديال طيوريم د پيطاڭوراس لي كان ديجا معروف قبل تا عند حضارات خرين. إيودوكسوس د كنيدوس ديڤلوپا طريقة د لحساب ديال التيساع و لحجم د أشكال ماشي منتاضمة و معوّجة،[10] و شي 50 عام موراه (ف جوايه 300 ق.م.) بان ؤقليدس لي أسس التسطار كيما كانعرفوه، و كتابو لعناصر د ؤقليدس كيتّعتابر أنجح كتاب د لقراية و أكتر واحد أتّر ف مجرى التاريخ.[11] وخا لمحتويات ديال كتاب لعناصر أغلبهوم كانو ديجا معروفين، ؤقليدس نضّم داكشي ف واحد لإطار متناسق و لوجيك.[12] أرخميدس مبعد عطا تقريب مزيان ل لعاداد پي، درس لببوشية لي تسمات ب سميتو، و عطا طرقان ديال حساب التيساع و لحجم الضوراني.[13]
لهنود تاهوما لعبو دور كبير، و كاينين مخطوطات هندية من لقرن 3 ق.م.[14] فيها پروبليمات د التسطار معروفين بحال الطيوريم د پيطاڭوراس و دراسات على لمتلتات لكسرية.[15]
ف لقرون لوسطانية، لعولاما د لحضارة لإسلامية ف لأندلس، شمال إفريقيا و الشرق لأوسط، طوّرو التسطار ل مستوايات جديدة.[16][17] لعالم لفارسي لماهاني، لي تزاد ف عام 853م، كان أول من قتارح باش لپروبليمات د التسطار يتحلّو ب الجبر. لعالم السرياني تابت بن قرة تاهوّ عاون ب لأعمال ديالو ف تطوير التسطار التحليلي.[18] عمر لخيام من جيهتو لقا حلول ل معادلات تكعيبية ب تخدام التسطار،[19] و هوّ و بن لهيتم و نصير الدين الطوسي حطو الساس لي عليه طورو لؤروپيين التسطار اللاؤقليدي.[20]
من لبدية د لقرن 17، طراو جوج تطورات مهمين. واحد فيهوم على يد روني ديكارت و پيير دو فيرما فاش خدمو على التسطار التحليلي (تسطار ب لإحداتيات و لمعادلات).[21] هادشي سمح من بعد ب تطوير لحساب التفاضلي و لحساب الدقيق ف لمجال د لفيزيك.[22] التاني كان على يد جيرار ديزارڭ ب دراستو ل لإسقاط د لأشكال و لمقاطع ديالهوم، شّي لي كان عندو تأتير كبير على لفن د الرسيم.[23]
ف لقرن 19 تاهوّ جوج كتيشافات بدّلو لوجه ديال التسطار.[24] اللول هوّ تطوير التسطارات اللاؤقليدية من عند عولاما بحال نيكولاي إڤانوڤيتش لوباتشيڤسكي، يانوش بولياي و كارل فريديريش ڭاوس، و التاني كان لخدمة ديال فيليكس كلاين على التماتل (النتيجة ديال هاد لخدمة هوّ تعميم لمفاهيم ديال التسطار لؤقليدي و اللاؤقليدي). جوج من أعضم التسطاريين ديال هاد لفترة هوما إبيرهارد ريمان و هينري پوانكاري. هاد الجوج بدّلو لمفهوم ديال "فضاء" لي ولّا كينونة ماطيماتيكية غنية و معقدة لي كاتلعب دور ف شلا فروع د لماط و لفيزيك.[25]
هادو مجموعة د أهم لمفاهيم ف التسطار:[2][26][27]
لأكسيوم ؤلا لمسلّمة واحد لعبارة منطقية لي كيقبلها لواحد كا ساس ديال شي نضرية ؤلا بنيان منطقي. لأكسيوم مايمكنش يتّتبت بلي غالط ؤلا صحيح ف إطار داك لبنيان، و كيتّعتابر عادةً بديهي و باين ماكيحتاجش ل إتبات.[28]
ؤقليدس ف كتابو لعناصر خدّم مقاربة مضبوطة لي ستعمل فيها مجموعة د لأكسيومات،[29] و على ساسها برهن على مجموعة د لعبارات لمنطقية و لخاصيات التسطارية ب تخدام اللوجيك. هاد الطريقة تسمّات التسطار التركيبي ؤلا لأكسيوماتي، كا موقابيل ل التسطار التحليلي لي كان جابو ديكارت.[30]
بعدما بانو التسطارات اللاؤقليدية، رجع لإهتمام ب هاد لمجال، و ف لبدية د لقرن 20 داڤيد هيلبيرت خدّم التفكير لأكسيوماتي باش يحاول يعطي ساس متين ل التسطار لعصري.[31]
النقطة كاتّعتابر هيّ الستون د الساس ف لبنيان د التسطار. عند ؤقليدس، النقطة معرّفة بلي هيّ "ديك لحاجة لي مافيها تا شي ڭزو صغر منها".[32] ف لماط لعصري، النقطة كاتّعتابر عنصر ف مجموعة لي كاتسمى "فضاء"، لي هوّ براسو كيكون معرف بشكل أكسيوماتي. كاينين نضريات عصريين ديال التسطار لي مافيهومش نقاطي ڭاع، بحال التسطار بلا نقاطي د وايتهاد.[33][34]
عند ؤقليدس، لمستقيم هوّ واحد "لإمتداد ماعندوش عرض لي كيتموضع بشكل متساوي بالنسبة النقاطي لي فيه".[32] التعريف ديال لمستقيم بشكل عام كيتبدّل على حساب النضرية د التسطار. متلاً ف التسطار التحليلي، لمستقيم هوّ واحد لمجموعة د النقاطي لي كاملين كيحققو واحد لمعادلة خطية.[35]
ف التسطار لؤقليدي، لمستوى هوّ سطح ب جوج أبعاد، لي كيمتد تال اللامسالية ف جميع الجوايه.[32] ف نضريات خرين ديال التسطار، كانلقاو تعميمات ل هاد التعريف. لمستوى يقدر يتّدرس ف الطوپولوجيا كا كيان ب داتو، بلا مفاهيم خرين بحال لمستقيم ؤلا النقطة.[36] ؤلا كا مستوى عوقادي ف إطار التحليل لعوقادي.[37]
لقنيتة هيّ واحد لكيان ماطيماتيكي محدد ب جوج شعوات (نص مستقيمات) خارجين من نفس النقطة لي كاتمتل الراس ديال لقنيتة، و الشعوات كيتسماو الجناب ديال لقنيتة.[38] الدراسة ديال لقنيتات ديال المتلتات ؤلا ف دوارة وحداوية هيّ الساس ديال لحساب لمتلت.[39]
لحنية هيّ واحد لكيان ف بعد واحد لي تقدر تكون مستقيم ؤلا لا.[40] ف بزاف د النضريات ديال التسطار، لحنية كاتكون كاتمتّل واحد الدالة لي لقيم ديالها أعداد حقيقية.[36]
السطح هوّ واحد لكيان ف جوج أبعاد، لي يقدر يكون مسرّح و يقدر يكون عوج، بحال السطح ديال كورة.[41] ف التسطار الجبري، السطح يقدر يتعرف ب معادلة پولينومية.[42]
لمانيفولض هوّ تعميم ديال مفاهيم لحنية و السطح ف أي بعد (سيرتو من 3 ل لفوق).[36] لمانيفولضات مخدمين بزاف د لفيزيك، سيرتو ف النضرية د النسبية و نضرية د لأوتار.[36]
الطول، التيساع، و لقد كيوصفو لعبار ديال ستونات ماطيماتيكية ف بعد واحد، جوج، و تلاتة ب هاد الترتيب.[43]
لأشكال التسطارية لمنتاضمة عندها صيغات د لحساب ديال التيساع ؤلا لقد لي معروفين. لأشكال لي مامنتاضمينش كيتحسبو هاد لعبارات ديالهوم، تا الأطوال، ب لحساب التفاضلي، بحال لانطيڭرال ديال ريمان Riemann integral و لانطيڭرال د لوبيڭ Lebesgues integral.[44]
لمفاهيم ديال الطول و لمسافة يقدرو يتعممو، شّي لي كيعطينا لمفهوم ديال فضاء ميتري.[45] ف كلا نوع ديال التسطار تقدر تكون لميترية (الطريقة باش كاتّعبر لمسافة بين جوج نقاطي) مختالفة. بعض هاد التعاريف ديال لميترية كانلقاوهوم مطبقين ف لفيزيك، بحال لميترية د لورنز و لميترية د ريمان.[46]
من جيهة خرة، النضرية د لعبار كاتعمم لمفاهيم ديال الطول، التيساع و لقد، حيت كاتدرس كيفاش كيتّعطى واحد لعبار ل شي مجموعة كيما كانت بحيت يتبعو نفس لخاصيات لكلاسيكيين لمعروفين.[47]
التطابق و التشابه مفاهيم لي كيعبّرو على حالة كيكونو فيها جوج شكال تسطارية متشابهين ف لخاصيات.[48] ف التسطار لؤقليدي، التشابه كيوصف لأشكال لي عندها نفس الشكل shape، ف لوقت لي التطابق كيعني لحالة لي جوج أشكال كيكون عندهوم نفس الشكل و نفس لقد.[49]
هاد الجوج مفاهيم كيتعممو ف نضرية التسطار التحويلي لي كاتدرس لمزايا ديال لأشكال التسطارية تحت نواع مختالفين ديال التحويلات.[50]
ف لماط لكلاسيكي، لأشكال التسطارية كانو ف لعادة كيتصاوبو غير ب جوج أدوات هوما لمسطارة و لكومپا. أي مصاوبة ديال شكل تسطاري كان خاصها تدار ف عدد مسالي ديال لخطوات. ولاكين معا لوقت بانو حالات ديال شكال لي مايمكنش يتصاوبو غير ب هاد الجوج أدوات. لمضلع لمصاوباوي هوّ مضلع لي يقدر يتصاوب غير ب لمسطارة و لكومپا.
ف التسطار التقليدي، كيتدرسو فضاءَات ب بعد واحد (مستقيم)، ب جوج أبعاد (مستوى)، و ب 3 د لأبعاد (فضاء). لعولاما د لماط هادي جوج قرون و هوما كيتعاملو معا فضاءَات ب 4 د لأبعاد ؤلا كتر.[51]
ف الطوپولوجيا لعامة، لمفهوم ديال لبعد تعمم من لأعداد الطبيعية ل اللامسالية (يعني يقدر يكون عندنا فضاء فيه أبعاد ماكيتسالاوش، بحال ف فضاء د هيلبرت) ؤلا أعداد حقيقية بحال التسطار لمهرس.[52]
السيميتري واحد لمفهوم لي كانلقاوه ف التسطار تقريباً من لبدية د التاريخ ديالو.[53] السيميتري ديال دوارة، مضلع منتاضم ؤلا مجسم پلاطوني كانت عندها دلالة كبيرة عند لفلاسفة لقدام، و تدار ليها تحليل تا قبل من ؤقليدس.[29][54]
لموتيفات السيميترية كاينين ف الطبيعة و متّلوهوم لفنانين ف لأعمال ديالهوم، بحال لحرايفيا لمغاربا ف لفن د الزليج، ؤلا ف الرسيم، النحت و غيرهوم.[55] ف النص التاني د لقرن 19، لبقشاشا التسطاريين ركّزو بشكل كبير على لعلاقة مابين السيميتري و التسطار. متلاً لعالم د لماط فيليكس كلاين، ف إطار لپروڭرام د إرلانڭن، عتابر بلي السيميتري بواحد الشكل دقيق، و على طريق لمفهوم ديال ڭروپ د التحويلات، كاتعطينا لماهية ديال التسطار براسها.[56] ف التسطار لؤقليدي، السيميتري كاتبان ف التطابق و لإزاحات و التدوير ديال لأشكال و الدمج مابين هاد التحويلات. ولاكين كلاين خدا لإلهام ديالو سيرتو من لخدمة ديال بولياي، لوباتشيڤسكي، ريمان و صوفوس لي.[57] السيميتريات لمتقطعة و لمتواصلة بجوج كيلعبو دور ف التسطار، اللولة ف الطوپولوجيا و النضرية التسطارية د لڭروپات،[58][59] و التانية ف نضرية لي و التسطار د ريمان.[60][61]
كاين نوع أخور ديال السيميتري لي كيتجلّا ف مبدأ لمجواجية ف التسطار لإسقاطي، و هوّ ميطافينومين لي نقدرو نوصفوه ب هاد الشكل: يلا خدينا أي طيوريم لي كينطابق على نقطة ؤلا مستقيم، و بدّلنا واحد ب لاخور، كانطيحو ف طيوريم لي تاهوّا صحيح.[62]
التسطار د ؤقليدس هوّ النضرية لكلاسيكية ديال التسطار.[63] حيت كيموديليزي الشكال ديال لعالم لواقعي، كانلقاوه مخدّم ف بزاف د لمجالات د الصيونص بحال لميكانيك، لفلك، لكريسطالوڭرافيا،[64] و د التيكنيك و الطيكنولوجيا بحال لانجينيوري،[65] لمعمار،[66] الجيوديزيا،[67] لأيروديناميك،[68] و لملاحة.[69] التعليم لإجباري ف أغلبية د لبلدان كيفرض التعلم ديال التسطار لؤقليدي، و لمفاهيم ديالو بحال النقطة، لمستقيم، لمستوى، لقنيتة، لمتلت، لكارو، الدوارة، التطابق، التشابه، و غيرهوم.[26]
التسطار التفاضلي مجال ديال التسطار لي كيخدّم التفاضل و الجبر لخطي باش يدرس پروبليمات د لماط.[70] عندو تطبيقات ف لفيزيك،[71] ف لإكونوميترية،[72] لبيوأنفورماتيك[73] و مجالات خرين.
التسطار التفاضلي مهم بشكل خاص ف النضرية د النسبية لعامة ديال ألبيرط أينشطاين، لي كاتڭول بلي الزمكان واحد لكيان ب 4 د لأبعاد لي معوّج.[74] التسطار التفاضلي يقدر يكون جوهري (من الجوهر ؤلا لماهية ؤلا لحقيقة د لحاجة)، يعني بلي كاتدرس مانيفولض مسرّح ولاكين خاضع ل قوانين د لميترية ف التسطار د ريمان، ولّا براني (ماشي جوهري) يعني الستون لمدروس خاضع ل لميترية ديال ؤقليدس ولاكين معوّج.[75]
التسطار اللاؤقليدي هو أي نضرية ديال التسطار لي إما كاتبدّل وحدة من لأكسيومات ديال التسطار لؤقليدي (سيرتو ديال التوازي)، ؤلا كاتدير تبديل ؤلا تعميم ف لميترية (الطريقة باش كاتّعبر لمسافة بين جوج نقاطي).
الطوپولوجيا مجال لي كيدرس لفضاءَات لمستامرة، و نقدرو نڭولو بلي راه تعميم ديال التسطار لؤقليدي.[76][77] عملياً، الطوپولوجيا كاتركز على لمزايا د لمستوى لعالي ديال لفضاء، بحال لموصولية connectedness و التزيارية compactedness.[36] من بين لمجالات لفرعية ديال الطوپولوجيا كاين الطوپولوجيا التسطارية، الطوپولوجيا التفاضلية، الطوپولوجيا الجبرية، و الطوپولوجيا لعامة.[78]
التسطار الجبري تطور من التسطار التحليلي لي كيستعمل سيستيم د لإحداتيات.[79] هاد لمجال تطور ب دورو كلما بانو نضريات و ستونات جديدة قابلين ل الدراسة ف لماط بحال التنوعات الجبرية، التسطار لإسقاطي، و الجبر التبادلي.[80] أهم التطورات طراو مابين لخمسينات و السبعينات د لقرن 20، سيرتو ب لخدمة ديال جان پيير سير و أليكساندر ڭروتنديك.[80] وحدة من لپروبليمات ديال جايزة لألفية هوّ لحدسية د هودج لي داخلة ف لكاضر ديال التسطار الجبري.[81] و معروف بلي لماطيماتيسيان أندرو وايلز لقى لحل ديال الطيوريم اللخر د فيرما لي داخل ف نضرية لأعداد، ب تخدام طرقان قافزين ديال التسطار الجبري.
التسطار لعوقادي كيدرس لمزايا ديال كيانات تسطارية لي كيتموديليزاو ب أعداد عوقادية ؤلا لمستوى لعوقادي.[82][83][84] التسطار لعوقادي جا ف التقاطع ديال التسطار التفاضلي، التسطار الجبري، و التحليل ديال الدوال ب متغيرات عوقادية و عندو تطبيقات ف نضرية د لأوتار.[85]
التسطار لعوقادي بان معا بيرنهارد ريمان ف الدراسة ديالو على السطوح الريمانية.[86][87][88] لخدمة على هاد لمجال كمّلوها لعولاما د لماط ف الطاليان، و منبعد ساهم فيها تا جان پيير سير لي بيّن لعلاقة مابين التسطار لعوقادي و الجبري.[89] هاد لمجال كيركّز على دراسة مجموعة د لكيانات لماطيميتيكية، من بينها لمانيفولضات لعوقادية و التنوعات الجبرية. ف نضرية د لأوتار كيعتاقدو لعولاما بلي 6 من بين 10 د لأبعاد لي كاتقتارح النضرية بلي كيشكّلو الزمكان يقدرو يتموضيليزاو ب لمانيفولض د كالابي ياو.
التسطار لمتقطع discrete geometry هوّ واحد لمجال فرعي ديال التسطار لي عندو علاقة قريبة معا التسطار لمحدب.[90][91][92] هاد لمجال كيدرس پروبليمات لي كاتهتم ب لمواضع النسبية ديال ستونات ماطيماتيكية بحال النقاطي، لمستقيمات و الدواير، بحال لپروبليم ديال الرزمات د لكورات و لحدسية د كنيسير پولصن Kneser Poulson conjecture.[93][94] بزاف د الطرقان لي مخدمين هنا كيتشاركو معا التركيبيات combinatorics.
التسطار لحواسبي كيهتم ب لألڭوريتمات و التطبيقات ديالهوم ف التسطار. من بين لپروبليمات لكلاسيكية هنا كاين لپروبليم د لبياع لمسافر traveling salesman problem، تحياد لخط لمخبي hidden-line removal، و لبرجامة لخطية linear programming.[95] وخا هاد لمجال باقي جديد، عندو ديجا تطبيقات بحال ف الشوفان لكومپيوتري، لمعالجة الرقمية د التصاور، التصوير الطبي و غيرهوم.[96]
النضرية التسطارية د لڭروپات كاتخدم تقنيات د النطاق لعالي باش تدرس لڭروپات لمسالية لمولدة.[97] عندو علاقة قوية معا الطوپولوجيا ف أبعاد صغيرة، بحال ف لبرهان ديال ڭريڭوري پيريلمان د حدسية التسطير geometrization conjecture لي داخلة فيها حدسية پوانكاري، لي كانت من بين لپروبليمات د جايزة لألفية.[98]
هاد النضرية كاتخدّم بزاف لڭراف د كايلي لي هوّ طريقة تسطارية ديال تمتيل ڭروپ.
التسطار لمحدب كيدرس الشكال التسطارية لمحدبة ف التسطار لؤقليدي و النضريات لخرين د التسطار، ب ستيعمال تقنيات ديال التحليل لحقيقي، و لماط لمتقطع.[99] عندو علاقة وطيدة معا التحليل لمحدب و تطبيقات ف نضرية لأعداد. هاد لمجال كيرجعو لأصول ديالو ل فترات قديمة، من نهار عطا أرخميديس تعريف مدقق ل التحداب convexity.[99]
التسطار عندو تطبيقات ف شلا مجالات، لبعض منها مشروح هنا.
لماط و لفن مرتابطين ب شكال متنوعين. متلاً لفن د الرسيم عطا لفكرة بلي لمزايا ديال لحوايج مافيهومش غير لميترية (لعبار لحقيقي)، و هادشي عطا التسطار لإسقاطي باش يشمل كيفاش كيبانو لحوايج ف لواقع على حساب لموضع ديال لمراقب، ماشي غير كيفاش دايرين فعلياً.[100]
النسبة الدهبية تاهيّ تخدمات بزاف د لفن، حيت كاين عتيقاد بلي كاتعطي أشكال متناسقة و مريحة ل لعين.[101]
لفسيسفا ؤلا لموزاييك تاهوّ تستعمل بزاف سيرتو ف لمعمار لإسلامي بشكل عام، و لمعمار لمغريبي بشكل خاص.
التسطار مخدم بزاف ف لمعمار، سوا ف لبني ؤلا الزواق ديال لمباني.[102][103] كانلقاو الشكال التسطارية بحال نص كورة ف لقباب، لمخروط، لمستطيل و غيرهوم ف الشكل لعام د لمباني،[66] زيادة على تخدام لفسيفسا و السيميتري.[66] لمعماري يقدر يقاد الشكل د لبني باش يفورصي واحد لمنضور، شي لي يمكن نعتابروه تطبيق ل التسطار لإسقاطي.[104]
ف لفلك كيتخدم التسطار بشكل كبير ف لمصاوبة ديال لخرايط النجمية و تحديد لمواقع ديال لكواكب. هاد لمجال كانو كيجيو منو بزاف د لپروبليمات ديال التسطار عبر التاريخ.[105]
التسطار د ريمان مخدم ف نضرية د النسبية لعامة،[106] و النضرية د لأوتار كاتستعمل عاداد ديال نضريات التسطار،[107] و نفس الشي ب النسبة ل نضرية لمعلومات لكوانطية.[108]
لحساب التفاضلي تأتر بزاف ب التسطار، من نهار دخّل روني ديكارت لإحداتيات، الشي لي خلا لأشكال التسطارية و لحنيات و التواسع لي كيفورميو قابلين ل الدراسة بشكل تحليلي.[21]
الدراسة ديال لمتلتات خلات لپيطاڭوريين يكتاشفو بلي كاينين أعداد ماكيتكتبوش بشكل كسري (على شكل قسيم ديال جوج أعداد طبيعية)، و هادشي أتّر على لفلسفة ديالهوم.[109] من لقرن 19 ولّا تخدام كبير ديال التسطار ف حل پروبليمات ديال نضرية لأعداد.[110]
- ^ Vincenzo De Risi (2015). Mathematizing Space: The Objects of Geometry from Antiquity to the Early Modern Age. Birkhäuser. pp. 1–. ردمك 978-3-319-12102-4. مأرشيڤي من لأصل ف 20 فبراير 2021. تطّالع عليه ب تاريخ 14 شتنبر 2019.
- ^ a b Tabak، John (2014). Geometry: the language of space and form. Infobase Publishing. ص. xiv. ردمك 978-0-8160-4953-0.
- ^ Walter A. Meyer (2006). Geometry and Its Applications. Elsevier. ردمك 978-0-08-047803-6. مأرشيڤي من لأصل ف 1 شتنبر 2021. تطّالع عليه ب تاريخ 14 شتنبر 2019.
- ^ "فن التسطير المغربي". مأرشيڤي من لأصل ف 2023-05-27. تطّالع عليه ب تاريخ 2023-05-27.
- ^ Friberg، Jöran (1981). "Methods and traditions of Babylonian mathematics". Historia Mathematica (ب نڭليزية). 8 (3): 277–318. doi:10.1016/0315-0860(81)90069-0.
- ^ Neugebauer، Otto (1969) [1957]. "Chap. IV Egyptian Mathematics and Astronomy". The Exact Sciences in Antiquity (طبعة 2). Dover Publications. pp. 71–96. ردمك 978-0-486-22332-2. مأرشيڤي من لأصل ف 14 غشت 2020. تطّالع عليه ب تاريخ 27 فبراير 2021..
- ^ (Boyer 1991, "Egypt" p. 19)
- ^ Ossendrijver، Mathieu (29 يناير 2016). "Ancient Babylonian astronomers calculated Jupiter's position from the area under a time-velocity graph". Science. 351 (6272): 482–484. Bibcode:2016Sci...351..482O. doi:10.1126/science.aad8085. PMID 26823423. Unknown parameter
|s2cid=ignored (معاونة) - ^ (Boyer 1991, "Ionia and the Pythagoreans" p. 43)
- ^ (Boyer 1991, "The Age of Plato and Aristotle" p. 92)
- ^ (Boyer 1991, "Euclid of Alexandria" p. 119)
- ^ (Boyer 1991, "Euclid of Alexandria" p. 104)
- ^ O'Connor, J.J.؛ Robertson, E.F. (February 1996). "A history of calculus". University of St Andrews. مأرشيڤي من لأصل ف 15 يوليوز 2007. تطّالع عليه ب تاريخ 7 غشت 2007.
- ^ Staal، Frits (1999). "Greek and Vedic Geometry". Journal of Indian Philosophy. 27 (1–2): 105–127. doi:10.1023/A:1004364417713. Unknown parameter
|s2cid=ignored (معاونة) - ^ (Hayashi 2003, pp. 121–122)
- ^ Rāshid، Rushdī (1994). The development of Arabic mathematics : between arithmetic and algebra. Boston Studies in the Philosophy of Science. 156. ص. 35. doi:10.1007/978-94-017-3274-1. OCLC 29181926. ردمك 978-0-7923-2565-9.
- ^ (Boyer 1991, "The Arabic Hegemony" pp. 241–242) "Omar Khayyam (c. 1050–1123), the "tent-maker," wrote an Algebra that went beyond that of al-Khwarizmi to include equations of third degree. Like his Arab predecessors, Omar Khayyam provided for quadratic equations both arithmetic and geometric solutions; for general cubic equations, he believed (mistakenly, as the 16th century later showed), arithmetic solutions were impossible; hence he gave only geometric solutions. The scheme of using intersecting conics to solve cubics had been used earlier by Menaechmus, Archimedes, and Alhazan, but Omar Khayyam took the praiseworthy step of generalizing the method to cover all third-degree equations (having positive roots). .. For equations of higher degree than three, Omar Khayyam evidently did not envision similar geometric methods, for space does not contain more than three dimensions, ... One of the most fruitful contributions of Arabic eclecticism was the tendency to close the gap between numerical and geometric algebra. The decisive step in this direction came much later with Descartes, but Omar Khayyam was moving in this direction when he wrote, "Whoever thinks algebra is a trick in obtaining unknowns has thought it in vain. No attention should be paid to the fact that algebra and geometry are different in appearance. Algebras are geometric facts which are proved."".
- ^ O'Connor، John J.؛ Robertson، Edmund F. "Al-Sabi Thabit ibn Qurra al-Harrani". MacTutor History of Mathematics archive. University of St Andrews.
- ^ O'Connor، John J.؛ Robertson، Edmund F. "Omar Khayyam". MacTutor History of Mathematics archive. University of St Andrews.
- ^ Boris A. Rosenfeld and Adolf P. Youschkevitch (1996), "Geometry", in Roshdi Rashed, ed., Encyclopedia of the History of Arabic Science, Vol. 2, pp. 447–494 [470], Routledge, London and New York:
"Three scientists, Ibn al-Haytham, Khayyam, and al-Tusi, had made the most considerable contribution to this branch of geometry whose importance came to be completely recognized only in the 19th century. In essence, their propositions concerning the properties of quadrangles which they considered, assuming that some of the angles of these figures were acute of obtuse, embodied the first few theorems of the hyperbolic and the elliptic geometries. Their other proposals showed that various geometric statements were equivalent to the Euclidean postulate V. It is extremely important that these scholars established the mutual connection between this postulate and the sum of the angles of a triangle and a quadrangle. By their works on the theory of parallel lines Arab mathematicians directly influenced the relevant investigations of their European counterparts. The first European attempt to prove the postulate on parallel lines—made by Witelo, the Polish scientists of the 13th century, while revising Ibn al-Haytham's Book of Optics (Kitab al-Manazir)—was undoubtedly prompted by Arabic sources. The proofs put forward in the 14th century by the Jewish scholar Levi ben Gerson, who lived in southern France, and by the above-mentioned Alfonso from Spain directly border on Ibn al-Haytham's demonstration. Above, we have demonstrated that Pseudo-Tusi's Exposition of Euclid had stimulated both J. Wallis's and G. Saccheri's studies of the theory of parallel lines."
- ^ a b Carl B. Boyer (2012). History of Analytic Geometry. Courier Corporation. ردمك 978-0-486-15451-0. مأرشيڤي من لأصل ف 26 دجنبر 2019. تطّالع عليه ب تاريخ 18 شتنبر 2019.
- ^ C.H. Edwards Jr. (2012). The Historical Development of the Calculus. Springer Science & Business Media. ص. 95. ردمك 978-1-4612-6230-5. مأرشيڤي من لأصل ف 29 دجنبر 2019. تطّالع عليه ب تاريخ 18 شتنبر 2019.
- ^ Judith V. Field؛ Jeremy Gray (2012). The Geometrical Work of Girard Desargues. Springer Science & Business Media. ص. 43. ردمك 978-1-4613-8692-6. مأرشيڤي من لأصل ف 27 دجنبر 2019. تطّالع عليه ب تاريخ 18 شتنبر 2019.
- ^ Jeremy Gray (2011). Worlds Out of Nothing: A Course in the History of Geometry in the 19th Century. Springer Science & Business Media. ردمك 978-0-85729-060-1. مأرشيڤي من لأصل ف 7 دجنبر 2019. تطّالع عليه ب تاريخ 18 شتنبر 2019.
- ^ Eduardo Bayro-Corrochano (2018). Geometric Algebra Applications Vol. I: Computer Vision, Graphics and Neurocomputing. Springer. ص. 4. ردمك 978-3-319-74830-6. مأرشيڤي من لأصل ف 28 دجنبر 2019. تطّالع عليه ب تاريخ 18 شتنبر 2019.
- ^ a b Schmidt، W.؛ Houang، R.؛ Cogan، Leland S. (2002). "A Coherent Curriculum: The Case of Mathematics". The American Educator (ب نڭليزية). 26 (2): 10–26. Unknown parameter
|s2cid=ignored (معاونة) - ^ Morris Kline (1990). Mathematical Thought From Ancient to Modern Times: Volume 3. US: Oxford University Press. pp. 1010–. ردمك 978-0-19-506137-6. مأرشيڤي من لأصل ف 1 شتنبر 2021. تطّالع عليه ب تاريخ 14 شتنبر 2019.
- ^ "Euclid's Axioms". مأرشيڤي من لأصل ف 2023-07-17. تطّالع عليه ب تاريخ 2023-05-24.
- ^ a b Robin Hartshorne (2013). Geometry: Euclid and Beyond. Springer Science & Business Media. pp. 29–. ردمك 978-0-387-22676-7. مأرشيڤي من لأصل ف 1 شتنبر 2021. تطّالع عليه ب تاريخ 14 شتنبر 2019.
- ^ Pat Herbst؛ Taro Fujita؛ Stefan Halverscheid؛ Michael Weiss (2017). The Learning and Teaching of Geometry in Secondary Schools: A Modeling Perspective. Taylor & Francis. pp. 20–. ردمك 978-1-351-97353-3. مأرشيڤي من لأصل ف 1 شتنبر 2021. تطّالع عليه ب تاريخ 14 شتنبر 2019.
- ^ Audun Holme (2010). Geometry: Our Cultural Heritage. Springer Science & Business Media. pp. 254–. ردمك 978-3-642-14441-7. مأرشيڤي من لأصل ف 1 شتنبر 2021. تطّالع عليه ب تاريخ 14 شتنبر 2019.
- ^ a b c Euclid's Elements – All thirteen books in one volume, Based on Heath's translation, Green Lion Press. ردمك 1-888009-18-7.
- ^ Gerla, G. (1995). "Pointless Geometries" (PDF). ف Buekenhout, F.؛ Kantor, W. (إيديتورات). Handbook of incidence geometry: buildings and foundations. North-Holland. pp. 1015–1031. مأرشيڤي من لأصل (PDF) ف 17 يوليوز 2011.
- ^ Clark، Bowman L. (Jan 1985). "Individuals and Points". Notre Dame Journal of Formal Logic. 26 (1): 61–75. doi:10.1305/ndjfl/1093870761.
- ^ John Casey (1885). Analytic Geometry of the Point, Line, Circle, and Conic Sections.
- ^ a b c d e Munkres، James R. (2000). Topology. 2 (طبعة 2nd). Upper Saddle River, NJ: Prentice Hall, Inc. OCLC 42683260. ردمك 0-13-181629-2.
- ^ Ahlfors، Lars V. (1979). Complex analysis : an introduction to the theory of analytic functions of one complex variable (طبعة 3rd). New York: McGraw-Hill. OCLC 4036464. ردمك 9780070006577. مأرشيڤي من لأصل ف 1 مارس 2023. تطّالع عليه ب تاريخ 9 شتنبر 2022.
- ^ Sidorov، L.A. (2001). "Angle". Encyclopedia of Mathematics. EMS Press. Unknown parameter
|orig-date=ignored (معاونة) - ^ Gelʹfand، I. M. (2001). Trigonometry. Mark E. Saul. Boston: Birkhäuser. pp. 1–20. OCLC 41355833. ردمك 0-8176-3914-4. مأرشيڤي من لأصل ف 1 مارس 2023. تطّالع عليه ب تاريخ 10 شتنبر 2022.CS1 maint: date and year (link)
- ^ Baker, Henry Frederick. Principles of geometry. Vol. 2. CUP Archive, 1954.
- ^ Briggs, William L., and Lyle Cochran Calculus. "Early Transcendentals.". ردمك 978-0-321-57056-7.
- ^ Mumford، David (1999). The Red Book of Varieties and Schemes Includes the Michigan Lectures on Curves and Their Jacobians (طبعة 2nd). Springer-Verlag. Zbl 0945.14001. ردمك 978-3-540-63293-1.
- ^ Steven A. Treese (2018). History and Measurement of the Base and Derived Units. Springer International Publishing. pp. 101–. ردمك 978-3-319-77577-7. مأرشيڤي من لأصل ف 30 دجنبر 2019. تطّالع عليه ب تاريخ 25 شتنبر 2019.
- ^ H. S. Bear (2002). A Primer of Lebesgue Integration. Academic Press. ردمك 978-0-12-083971-1. مأرشيڤي من لأصل ف 25 دجنبر 2019. تطّالع عليه ب تاريخ 25 شتنبر 2019.
- ^ Dmitri Burago, Yu D Burago, Sergei Ivanov, A Course in Metric Geometry, American Mathematical Society, 2001,. ردمك 0-8218-2129-6.
- ^ Wald، Robert M. (1984). General Relativity. University of Chicago Press. ردمك 978-0-226-87033-5.
- ^ Terence Tao (2011). An Introduction to Measure Theory. American Mathematical Soc. ردمك 978-0-8218-6919-2. مأرشيڤي من لأصل ف 27 دجنبر 2019. تطّالع عليه ب تاريخ 25 شتنبر 2019.
- ^ Shlomo Libeskind (2008). Euclidean and Transformational Geometry: A Deductive Inquiry. Jones & Bartlett Learning. ص. 255. ردمك 978-0-7637-4366-6. مأرشيڤي من لأصل ف 25 دجنبر 2019. تطّالع عليه ب تاريخ 25 شتنبر 2019.
- ^ Mark A. Freitag (2013). Mathematics for Elementary School Teachers: A Process Approach. Cengage Learning. ص. 614. ردمك 978-0-618-61008-2. مأرشيڤي من لأصل ف 28 دجنبر 2019. تطّالع عليه ب تاريخ 25 شتنبر 2019.
- ^ George E. Martin (2012). Transformation Geometry: An Introduction to Symmetry. Springer Science & Business Media. ردمك 978-1-4612-5680-9. مأرشيڤي من لأصل ف 7 دجنبر 2019. تطّالع عليه ب تاريخ 25 شتنبر 2019.
- ^ Mark Blacklock (2018). The Emergence of the Fourth Dimension: Higher Spatial Thinking in the Fin de Siècle. Oxford University Press. ردمك 978-0-19-875548-7. مأرشيڤي من لأصل ف 27 دجنبر 2019. تطّالع عليه ب تاريخ 18 شتنبر 2019.
- ^ Roger Temam (2013). Infinite-Dimensional Dynamical Systems in Mechanics and Physics. Springer Science & Business Media. ص. 367. ردمك 978-1-4612-0645-3. مأرشيڤي من لأصل ف 24 دجنبر 2019. تطّالع عليه ب تاريخ 18 شتنبر 2019.
- ^ Ian Stewart (2008). Why Beauty Is Truth: A History of Symmetry. Basic Books. ص. 14. ردمك 978-0-465-08237-7. مأرشيڤي من لأصل ف 25 دجنبر 2019. تطّالع عليه ب تاريخ 23 شتنبر 2019.
- ^ Stakhov Alexey (2009). Mathematics Of Harmony: From Euclid To Contemporary Mathematics And Computer Science. World Scientific. ص. 144. ردمك 978-981-4472-57-9. مأرشيڤي من لأصل ف 29 دجنبر 2019. تطّالع عليه ب تاريخ 23 شتنبر 2019.
- ^ Werner Hahn (1998). Symmetry as a Developmental Principle in Nature and Art. World Scientific. ردمك 978-981-02-2363-2. مأرشيڤي من لأصل ف 1 يناير 2020. تطّالع عليه ب تاريخ 23 شتنبر 2019.
- ^ Brian J. Cantwell (2002). Introduction to Symmetry Analysis. Cambridge University Press. ص. 34. ردمك 978-1-139-43171-2. مأرشيڤي من لأصل ف 27 دجنبر 2019. تطّالع عليه ب تاريخ 23 شتنبر 2019.
- ^ Peter Pesic (2007). Beyond Geometry: Classic Papers from Riemann to Einstein. Courier Corporation. ردمك 978-0-486-45350-7. مأرشيڤي من لأصل ف 1 شتنبر 2021. تطّالع عليه ب تاريخ 23 شتنبر 2019.
- ^ Michio Kaku (2012). Strings, Conformal Fields, and Topology: An Introduction. Springer Science & Business Media. ص. 151. ردمك 978-1-4684-0397-8. مأرشيڤي من لأصل ف 24 دجنبر 2019. تطّالع عليه ب تاريخ 23 شتنبر 2019.
- ^ Mladen Bestvina؛ Michah Sageev؛ Karen Vogtmann (2014). Geometric Group Theory. American Mathematical Soc. ص. 132. ردمك 978-1-4704-1227-2. مأرشيڤي من لأصل ف 29 دجنبر 2019. تطّالع عليه ب تاريخ 23 شتنبر 2019.
- ^ W-H. Steeb (1996). Continuous Symmetries, Lie Algebras, Differential Equations and Computer Algebra. World Scientific Publishing Company. ردمك 978-981-310-503-4. مأرشيڤي من لأصل ف 26 دجنبر 2019. تطّالع عليه ب تاريخ 23 شتنبر 2019.
- ^ Charles W. Misner (2005). Directions in General Relativity: Volume 1: Proceedings of the 1993 International Symposium, Maryland: Papers in Honor of Charles Misner. Cambridge University Press. ص. 272. ردمك 978-0-521-02139-5. مأرشيڤي من لأصل ف 26 دجنبر 2019. تطّالع عليه ب تاريخ 23 شتنبر 2019.
- ^ Linnaeus Wayland Dowling (1917). Projective Geometry. McGraw-Hill book Company, Incorporated. ص. 10.
- ^ Robert E. Butts؛ J.R. Brown (2012). Constructivism and Science: Essays in Recent German Philosophy. Springer Science & Business Media. pp. 127–. ردمك 978-94-009-0959-5. مأرشيڤي من لأصل ف 1 شتنبر 2021. تطّالع عليه ب تاريخ 20 شتنبر 2019.
- ^ Science. Moses King. 1886. pp. 181–. مأرشيڤي من لأصل ف 27 دجنبر 2019. تطّالع عليه ب تاريخ 20 شتنبر 2019.
- ^ W. Abbot (2013). Practical Geometry and Engineering Graphics: A Textbook for Engineering and Other Students. Springer Science & Business Media. pp. 6–. ردمك 978-94-017-2742-6. مأرشيڤي من لأصل ف 25 دجنبر 2019. تطّالع عليه ب تاريخ 20 شتنبر 2019.
- ^ a b c George L. Hersey (2001). Architecture and Geometry in the Age of the Baroque. University of Chicago Press. ردمك 978-0-226-32783-9. مأرشيڤي من لأصل ف 25 دجنبر 2019. تطّالع عليه ب تاريخ 20 شتنبر 2019.
- ^ P. Vanícek؛ E.J. Krakiwsky (2015). Geodesy: The Concepts. Elsevier. ص. 23. ردمك 978-1-4832-9079-9. مأرشيڤي من لأصل ف 31 دجنبر 2019. تطّالع عليه ب تاريخ 20 شتنبر 2019.
- ^ Russell M. Cummings؛ Scott A. Morton؛ William H. Mason؛ David R. McDaniel (2015). Applied Computational Aerodynamics. Cambridge University Press. ص. 449. ردمك 978-1-107-05374-8. مأرشيڤي من لأصل ف 1 شتنبر 2021. تطّالع عليه ب تاريخ 20 شتنبر 2019.
- ^ Roy Williams (1998). Geometry of Navigation. Horwood Pub. ردمك 978-1-898563-46-4. مأرشيڤي من لأصل ف 7 دجنبر 2019. تطّالع عليه ب تاريخ 20 شتنبر 2019.
- ^ Gerard Walschap (2015). Multivariable Calculus and Differential Geometry. De Gruyter. ردمك 978-3-11-036954-0. مأرشيڤي من لأصل ف 27 دجنبر 2019. تطّالع عليه ب تاريخ 23 شتنبر 2019.
- ^ Harley Flanders (2012). Differential Forms with Applications to the Physical Sciences. Courier Corporation. ردمك 978-0-486-13961-6. مأرشيڤي من لأصل ف 1 شتنبر 2021. تطّالع عليه ب تاريخ 23 شتنبر 2019.
- ^ Paul Marriott؛ Mark Salmon (2000). Applications of Differential Geometry to Econometrics. Cambridge University Press. ردمك 978-0-521-65116-5. مأرشيڤي من لأصل ف 1 شتنبر 2021. تطّالع عليه ب تاريخ 23 شتنبر 2019.
- ^ Matthew He؛ Sergey Petoukhov (2011). Mathematics of Bioinformatics: Theory, Methods and Applications. John Wiley & Sons. ص. 106. ردمك 978-1-118-09952-0. مأرشيڤي من لأصل ف 27 دجنبر 2019. تطّالع عليه ب تاريخ 23 شتنبر 2019.
- ^ P.A.M. Dirac (2016). General Theory of Relativity. Princeton University Press. ردمك 978-1-4008-8419-3. مأرشيڤي من لأصل ف 26 دجنبر 2019. تطّالع عليه ب تاريخ 23 شتنبر 2019.
- ^ Nihat Ay؛ Jürgen Jost؛ Hông Vân Lê؛ Lorenz Schwachhöfer (2017). Information Geometry. Springer. ص. 185. ردمك 978-3-319-56478-4. مأرشيڤي من لأصل ف 24 دجنبر 2019. تطّالع عليه ب تاريخ 23 شتنبر 2019.
- ^ Martin D. Crossley (2011). Essential Topology. Springer Science & Business Media. ردمك 978-1-85233-782-7. مأرشيڤي من لأصل ف 28 دجنبر 2019. تطّالع عليه ب تاريخ 24 شتنبر 2019.
- ^ Charles Nash؛ Siddhartha Sen (1988). Topology and Geometry for Physicists. Elsevier. ص. 1. ردمك 978-0-08-057085-3. مأرشيڤي من لأصل ف 26 دجنبر 2019. تطّالع عليه ب تاريخ 24 شتنبر 2019.
- ^ J. P. May (1999). A Concise Course in Algebraic Topology. University of Chicago Press. ردمك 978-0-226-51183-2. مأرشيڤي من لأصل ف 23 دجنبر 2019. تطّالع عليه ب تاريخ 24 شتنبر 2019.
- ^ The Encyclopedia Americana: A Universal Reference Library Comprising the Arts and Sciences, Literature, History, Biography, Geography, Commerce, Etc., of the World. Scientific American Compiling Department. 1905. pp. 489–. مأرشيڤي من لأصل ف 25 دجنبر 2019. تطّالع عليه ب تاريخ 24 شتنبر 2019.
- ^ a b Suzanne C. Dieudonne (1985). History Algebraic Geometry. CRC Press. ردمك 978-0-412-99371-8. مأرشيڤي من لأصل ف 25 دجنبر 2019. تطّالع عليه ب تاريخ 24 شتنبر 2019.
- ^ James Carlson؛ James A. Carlson؛ Arthur Jaffe؛ Andrew Wiles (2006). The Millennium Prize Problems. American Mathematical Soc. ردمك 978-0-8218-3679-8. مأرشيڤي من لأصل ف 30 ماي 2016. تطّالع عليه ب تاريخ 24 شتنبر 2019.
- ^ Huybrechts، Daniel (2005). Complex geometry : an introduction. Berlin: Springer. OCLC 209857590. ردمك 9783540266877. مأرشيڤي من لأصل ف 1 مارس 2023. تطّالع عليه ب تاريخ 10 شتنبر 2022.
- ^ Griffiths, P., & Harris, J. (2014). Principles of algebraic geometry. John Wiley & Sons.
- ^ Wells، R. O. Jr. (2008). Differential analysis on complex manifolds. Graduate Texts in Mathematics. 65. O. García-Prada (طبعة 3rd). New York: Springer-Verlag. doi:10.1007/978-0-387-73892-5. OCLC 233971394. ردمك 9780387738918. مأرشيڤي من لأصل ف 1 مارس 2023. تطّالع عليه ب تاريخ 9 شتنبر 2022.
- ^ Hori, K., Thomas, R., Katz, S., Vafa, C., Pandharipande, R., Klemm, A., ... & Zaslow, E. (2003). Mirror symmetry (Vol. 1). American Mathematical Soc.
- ^ Forster, O. (2012). Lectures on Riemann surfaces (Vol. 81). Springer Science & Business Media.
- ^ Miranda, R. (1995). Algebraic curves and Riemann surfaces (Vol. 5). American Mathematical Soc.
- ^ Donaldson، S. K. (2011). Riemann surfaces. Oxford. OCLC 861200296. ردمك 978-0-19-154584-9. مأرشيڤي من لأصل ف 1 مارس 2023. تطّالع عليه ب تاريخ 9 شتنبر 2022.
- ^ Serre, J. P. (1955). Faisceaux algébriques cohérents. Annals of Mathematics, 197–278.
- ^ Jiří Matoušek (2013). Lectures on Discrete Geometry. Springer Science & Business Media. ردمك 978-1-4613-0039-7. مأرشيڤي من لأصل ف 27 دجنبر 2019. تطّالع عليه ب تاريخ 25 شتنبر 2019.
- ^ Chuanming Zong (2006). The Cube – A Window to Convex and Discrete Geometry. Cambridge University Press. ردمك 978-0-521-85535-8. مأرشيڤي من لأصل ف 23 دجنبر 2019. تطّالع عليه ب تاريخ 25 شتنبر 2019.
- ^ Peter M. Gruber (2007). Convex and Discrete Geometry. Springer Science & Business Media. ردمك 978-3-540-71133-9. مأرشيڤي من لأصل ف 24 دجنبر 2019. تطّالع عليه ب تاريخ 25 شتنبر 2019.
- ^ Satyan L. Devadoss؛ Joseph O'Rourke (2011). Discrete and Computational Geometry. Princeton University Press. ردمك 978-1-4008-3898-1. مأرشيڤي من لأصل ف 27 دجنبر 2019. تطّالع عليه ب تاريخ 25 شتنبر 2019.
- ^ Károly Bezdek (2010). Classical Topics in Discrete Geometry. Springer Science & Business Media. ردمك 978-1-4419-0600-7. مأرشيڤي من لأصل ف 28 دجنبر 2019. تطّالع عليه ب تاريخ 25 شتنبر 2019.
- ^ Franco P. Preparata؛ Michael I. Shamos (2012). Computational Geometry: An Introduction. Springer Science & Business Media. ردمك 978-1-4612-1098-6. مأرشيڤي من لأصل ف 28 دجنبر 2019. تطّالع عليه ب تاريخ 25 شتنبر 2019.
- ^ Xianfeng David Gu؛ Shing-Tung Yau (2008). Computational Conformal Geometry. International Press. ردمك 978-1-57146-171-1. مأرشيڤي من لأصل ف 24 دجنبر 2019. تطّالع عليه ب تاريخ 25 شتنبر 2019.
- ^ Clara Löh (2017). Geometric Group Theory: An Introduction. Springer. ردمك 978-3-319-72254-2. مأرشيڤي من لأصل ف 29 دجنبر 2019. تطّالع عليه ب تاريخ 25 شتنبر 2019.
- ^ John Morgan؛ Gang Tian (2014). The Geometrization Conjecture. American Mathematical Soc. ردمك 978-0-8218-5201-9. مأرشيڤي من لأصل ف 24 دجنبر 2019. تطّالع عليه ب تاريخ 25 شتنبر 2019.
- ^ a b Gerard Meurant (2014). Handbook of Convex Geometry. Elsevier Science. ردمك 978-0-08-093439-6. مأرشيڤي من لأصل ف 1 شتنبر 2021. تطّالع عليه ب تاريخ 24 شتنبر 2019.
- ^ Jürgen Richter-Gebert (2011). Perspectives on Projective Geometry: A Guided Tour Through Real and Complex Geometry. Springer Science & Business Media. ردمك 978-3-642-17286-1. مأرشيڤي من لأصل ف 29 دجنبر 2019. تطّالع عليه ب تاريخ 25 شتنبر 2019.
- ^ Mario Livio (2008). The Golden Ratio: The Story of PHI, the World's Most Astonishing Number. Crown/Archetype. ص. 166. ردمك 978-0-307-48552-6. مأرشيڤي من لأصل ف 30 دجنبر 2019. تطّالع عليه ب تاريخ 25 شتنبر 2019.
- ^ Cristiano Ceccato؛ Lars Hesselgren؛ Mark Pauly؛ Helmut Pottmann, Johannes Wallner (2016). Advances in Architectural Geometry 2010. Birkhäuser. ص. 6. ردمك 978-3-99043-371-3. مأرشيڤي من لأصل ف 25 دجنبر 2019. تطّالع عليه ب تاريخ 25 شتنبر 2019.
- ^ Helmut Pottmann (2007). Architectural geometry. Bentley Institute Press. ردمك 978-1-934493-04-5. مأرشيڤي من لأصل ف 24 دجنبر 2019. تطّالع عليه ب تاريخ 25 شتنبر 2019.
- ^ Marian Moffett؛ Michael W. Fazio؛ Lawrence Wodehouse (2003). A World History of Architecture. Laurence King Publishing. ص. 371. ردمك 978-1-85669-371-4. مأرشيڤي من لأصل ف 27 دجنبر 2019. تطّالع عليه ب تاريخ 25 شتنبر 2019.
- ^ Robin M. Green؛ Robin Michael Green (1985). Spherical Astronomy. Cambridge University Press. ص. 1. ردمك 978-0-521-31779-5. مأرشيڤي من لأصل ف 21 دجنبر 2019. تطّالع عليه ب تاريخ 25 شتنبر 2019.
- ^ Dmitriĭ Vladimirovich Alekseevskiĭ (2008). Recent Developments in Pseudo-Riemannian Geometry. European Mathematical Society. ردمك 978-3-03719-051-7. مأرشيڤي من لأصل ف 28 دجنبر 2019. تطّالع عليه ب تاريخ 25 شتنبر 2019.
- ^ Shing-Tung Yau؛ Steve Nadis (2010). The Shape of Inner Space: String Theory and the Geometry of the Universe's Hidden Dimensions. Basic Books. ردمك 978-0-465-02266-3. مأرشيڤي من لأصل ف 24 دجنبر 2019. تطّالع عليه ب تاريخ 25 شتنبر 2019.
- ^ Bengtsson، Ingemar؛ Życzkowski، Karol (2017). Geometry of Quantum States: An Introduction to Quantum Entanglement (طبعة 2nd). Cambridge University Press. OCLC 1004572791. ردمك 978-1-107-02625-4.
- ^ Arturo Sangalli (2009). Pythagoras' Revenge: A Mathematical Mystery. Princeton University Press. ص. 57. ردمك 978-0-691-04955-7.
- ^ Gary Cornell؛ Joseph H. Silverman؛ Glenn Stevens (2013). Modular Forms and Fermat's Last Theorem. Springer Science & Business Media. ردمك 978-1-4612-1974-3. مأرشيڤي من لأصل ف 30 دجنبر 2019. تطّالع عليه ب تاريخ 25 شتنبر 2019.
- Boyer، C.B. (1991) [1989]. A History of Mathematics (طبعة Second edition, revised by Uta C. Merzbach). New York: Wiley. ردمك 978-0-471-54397-8.
- Cooke، Roger (2005). The History of Mathematics. New York: Wiley-Interscience. ردمك 978-0-471-44459-6.
- Hayashi، Takao (2003). "Indian Mathematics". ف Grattan-Guinness، Ivor (إيديتور). Companion Encyclopedia of the History and Philosophy of the Mathematical Sciences. 1. Baltimore, MD: The Johns Hopkins University Press. pp. 118–130. ردمك 978-0-8018-7396-6.
- Hayashi، Takao (2005). "Indian Mathematics". ف Flood، Gavin (إيديتور). The Blackwell Companion to Hinduism. Oxford: Basil Blackwell. pp. 360–375. ردمك 978-1-4051-3251-0.
- Nikolai I. Lobachevsky (2010). Pangeometry. Heritage of European Mathematics Series. 4. translator and editor: A. Papadopoulos. European Mathematical Society.
- Jay Kappraff (2014). A Participatory Approach to Modern Geometry. World Scientific Publishing. doi:10.1142/8952. Zbl 1364.00004. ردمك 978-981-4556-70-5.
- Leonard Mlodinow (2002). Euclid's Window – The Story of Geometry from Parallel Lines to Hyperspace (طبعة UK). Allen Lane. ردمك 978-0-7139-9634-0.
- . Encyclopædia Britannica (ب نڭليزية). 11 (طبعة 11th). 1911. pp. 675–736.. Encyclopædia Britannica. Vol. 11 (11th ed.). 1911. pp. 675–736.
- A geometry course from Wikiversity
- Unusual Geometry Problems
- The Math Forum – Geometry
- Nature Precedings – Pegs and Ropes Geometry at Stonehenge
- The Mathematical Atlas – Geometric Areas of Mathematics
- "4000 Years of Geometry", lecture by Robin Wilson given at Gresham College, 3 October 2007 (available for MP3 and MP4 download as well as a text file)
- Finitism in Geometry at the Stanford Encyclopedia of Philosophy
- The Geometry Junkyard
- Interactive geometry reference with hundreds of applets
- Dynamic Geometry Sketches (with some Student Explorations)
- Geometry classes at Khan Academy